Фрагмент от елементите на Евклид

Фрагмент от елементите на Евклид


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.


Фрагмент от елементите на Евклид - история

Елементи на Евклид - 2500 годишна история
Боб Гарднър
Държавен университет в Източен Тенеси
Департамент по математика и статистика
Джонсън Сити, TN 37614

Други преводи на Елементите


Бодлеев ръкопис (888 г.)
Изображение от: http://www.claymath.org/euclid/ Бодлианският ръкопис датира от 888 г. Този ръкопис съдържа книги I до XV от Елементи с много „scholia“ или обяснителни коментари.

Уебсайтът на Института по математика на Клей обявява това издание за „най -ранния„ пълен “ръкопис на Евклидов Елементи и според каталога на изложбата в Бодлеанската библиотека, това е най -старият ръкопис на класически гръцки автор, който носи дата. "Той" се съхранява в Бодлианската библиотека, Оксфорд, Англия от 1804 г., е написан на пергамент в Константинопол “. Пълно цифрово копие е достъпно онлайн на уебсайта на Clay Mathematics (http://www.claymath.org/euclid/).


Ватикански ръкопис номер 190 (10 век)
Изображение от: http://www.ibiblio.org/expo/vatican.exhibit/exhibit/d-mathematics/Greek_math.html Ватикански ръкопис номер 190. Това датира от 10 век. и съдържа книгите от I до XII на Елементи със scholia, след това коментарът на Маринус към Данни със схолия. Тогава така наречените „Книги XIV и XV“ на Елементи са представени, последвани от три книги и част от четвърт от коментар на Теон. Въпреки че коментарите на Теон са приложени, изследванията разкриват, че основният текст е по -древен от други налични версии, които показват влияние на модификация от Теон [Хийт, стр. 46].

  • Ръкопис XXXVIII, 3 от библиотеката на Laurentian във Флоренция, Италия, който датира от 10-ти век, включва книги I-XV, Оптика, и Фаеномена.
  • Ръкописи 18 и 19 на Общинската библиотека в Болоня, Италия от 11 век, включват книги I-XIII и Данни.
  • Виенският ръкопис от 12 век, който включва книги I-XV, Оптика, и Фаеномена.
  • Два парижки ръкописа от 12 век.


Паксирусът Oxyrhynchus
Изображение от: http://scientists.penyet.net/euclid-the-father-of-geometry.html Съществуват няколко древни фрагмента от папирус, които съдържат части от Елементите. Един от най -старите се нарича Oxyrhynchus Papyrus и датира около 100 г. Тук виждаме диаграма от книга II, предложение 5.


Първото отпечатано Елементи
Изображение от: http://www.historyofscience.com/G2I/timeline/index.php?category=Mathematics+%2F+Logic Първата печатна версия на Елементите се появява през 1482 г. във Венеция. Текстът се основава на превод от арабски на латински, вероятно направен от Абелард от Бат през 12 век, редактиран и анотиран от Джовани Компано. Той включваше над 400 фигури.


Съдържание

Евклид е гръцки математик, който пише Елементи в Александрия през елинистическия период (около 300 г. пр.н.е.). Учените смятат, че Елементи е до голяма степен колекция от теореми, доказани от други математици, както и съдържаща някои оригинални произведения. Прокъл, гръцки математик, живял няколко века след Евклид, пише в коментара си за Елементи: „Евклид, който събра Елементите, събирайки много от теоремите на Евдокс, усъвършенствайки много от теотетите на Теетет, и също така довежда до неопровержима демонстрация нещата, които бяха само донякъде слабо доказани от неговите предшественици“.

Версия от ученик на Евклид, наречена Прокло, е преведена по -късно на арабски, след като е получена от арабите от Византия и от тези вторични преводи на латински. Първото печатно издание се появява през 1482 г. (въз основа на изданието на Джовани Кампано от 1260 г.) и оттогава е преведено на много езици и публикувано в около хиляда различни издания. През 1570 г. Джон Ди предоставя широко уважаван „Математически предговор“, заедно с обилни бележки и допълнителен материал, към първото английско издание на Хенри Билингсли.

Съществуват и копия от гръцкия текст, напр. във Ватиканската библиотека и Бодлианската библиотека в Оксфорд. Наличните ръкописи обаче са с много променливо качество и неизменно непълни. Чрез внимателен анализ на преводите и оригиналите са изведени хипотези относно съдържанието на оригиналния текст (копия от който вече не са налични).

Древни текстове, които се позовават на Елементи самата и за други математически теории, които са били актуални по времето, когато е написана, също са важни в този процес. Такива анализи се извършват от J. L. Heiberg и Sir Thomas Little Heath в техните издания на текста.

Също така важни са схолиите или анотациите към текста. Тези допълнения, които често се отличават от основния текст (в зависимост от ръкописа), постепенно се натрупват с течение на времето, тъй като мненията варират в зависимост от това, което заслужава обяснение или изясняване. Някои от тях са полезни и добавят към текста, но много от тях не са.


Фрагмент от елементите на Евклид - история

Евклид е познат на почти всеки ученик в гимназията като автор на „Елементите“, дълго изучавания текст по геометрия и теория на числата. Никоя друга книга освен Библията не е била толкова широко превеждана и разпространявана. От времето, когато е написана, тя се е разглеждала като необикновена работа и е била изучавана от всички математици, дори от най -големия математик от древността - Архимед, и така е било през 23 -те века, които са последвали. Това е безспорно най -добрият математически текст, написан някога и вероятно ще остане такъв в далечното бъдеще.

Това е миниатюра от ръкописа на римските геодезисти, намерен във Волфенб üttel, 6 век сл. Хр.

Малко се знае за Евклид, ет. 300BC, авторът на The Elements. Преподава и пише в Музея и библиотеката в Александрия, основана от Птолемей I.

Почти всичко за него идва от Коментара на Прокъл, IV век сл. Хр. Той пише, че Евклид е събрал теоремите на Евдокс, усъвършенствал много от Теететите и завършил фрагментарни произведения, оставени от други.

Твърди се, че Евклид е казал на първия Птолемей, който попитал дали има по -кратък начин да се научи геометрия от Елементите:

Елементите - основни факти

  • написано преди около 2300 години,
  • няма запазени копия,
  • няколко гърнета от 225 г. пр. н. е. съдържат бележки за някои предложения,
  • Издадени са много нови издания (напр. Теон Александрийски, цент. Н.е.)
  • Най -ранното копие е от 888 г. - в Оксфорд
  • Стил: без примери, без мотивация, без изчисления, без остроумни забележки, без въведение, без преамбюл-нищо друго освен теореми и техните доказателства.
  1. Елементите
  2. Данни - придружаващ том към първите шест книги на Елементите, написани за начинаещи. Той включва геометрични методи за решаване на квадратни.
  3. Разделяне на фигури-колекция от тридесет и шест предложения относно разделянето на равнинни конфигурации. Той е оцелял само от арабски транслатони.
  4. Phaenomena - по сферична геометрия, тя е подобна на работата на Autolycus
  5. Оптика - ранна работа по перспектива, включително оптика, катоптрика и диоптрия.

  1. Поризми - вероятно древна версия на аналитичната геометрия.
  2. Повърхностни локуси -?
  3. Псевдария -?

Елементите - Структура: Тринадесет книги

  • Книги I-VI-Геометрия на равнината
  • Книги VII-IX-Теория на числата
  • Книга X - Несъизмерими
  • Книга XI-XIII-Твърда геометрия

Елементите - типична книга

  • Определения
  • Аксиоми - очевидни за всички
  • Постулати - особено за разглежданата тема
  • Теореми
  • Постулати - 5
    1. Да начертаете права линия от всяка точка до всяка точка.
    2. Да се ​​произвежда крайна права линия непрекъснато по права линия.
    3. Да се ​​опише кръг с произволен център и разстояние.
    4. Че всички прави ъгли са равни един на друг.
    5. Това, че ако права линия, падаща върху две прави линии, прави вътрешните ъгли от същата страна по -малки от правите ъгли, двете прави линии, ако са произведени за неопределено време, се срещат от тази страна, на която ъглите са по -малки от правите ъгли.
  • Аксиоми - 5
    1. Нещата, които са равни на едно и също нещо, също са равни една на друга.
    2. Ако се прибавят равни към равни, целите са равни.
    3. Ако се извадят равни от равни, остатъците са равни.
    4. Нещата, които съвпадат едно с друго, са равни помежду си.
    5. Цялото е по -голямо от частта.
  • Силогизъм: „силогизъм в дискурса, в който, като се посочват някои неща, нещо различно от това, което е посочено, следва от необходимостта от това, че са такива. & Quot Пример: Ако всички маймуни са примати и всички примати са бозайници, тогава следва, че всички маймуните са бозайници.
  • modus ponens: Ако p, тогава q. . Следователно q.
  • modus tolens: Ако p, тогава q. Не q. Следователно, не стр.

За да се докаже тази конструкция кръгове в A и B с радиус AB. Твърдете, че точката на пресичане C е на равно разстояние от A и B и тъй като лежи върху кръговете, разстоянието е AB.

Имайте предвид, че в предложение I-1 Евклид може да се позове само на дефинициите и постулатите. Но той не използва аристотелевските силогизми, а използва modus ponens. Обърнете внимание също, че има фино предположение за непрекъснатия характер на равнината, направено във визуалното предположение, че кръговете се пресичат. Недостатъците от този тип остават по същество неразрешени до съвременността.

Предложение I-4. (SAS) Ако два триъгълника имат две страни, равни на две страни съответно, и ъглите, съдържащи се от равни страни, също са равни, тогава двата триъгълника са конгруентни.

Забележка: В съвременните лечения на обикновена геометрия това предложение е дадено като постулат.

Забележка: Тук се използва съвременният термин конгруент, който замества твърдението на Евклид, че „всяка част от един триъгълник е равна на съответната част от другия.“

Предложение I-5. В равнобедрените триъгълници ъглите в основата са равни един на друг и ако еднакви прави линии се произвеждат допълнително, ъглите под основата ще бъдат равни един на друг.

Доказателство. Разширете AC към D и AC към E. Маркиране на равни разстояния BF и CG на съответните им сегменти. Сега докажете, че тъй като AF и AG са равни, а AC и AB са равни и триъгълниците ACF и ABG споделят включения ъгъл при A, те трябва да бъдат съвпадащи. Това означава, че страните FC и GB са равни. Следователно триъгълниците FCB и GCB са (SAS) конгруентни. Следователно ъглите и са равни, от което следва заключението.

Това е доказателството, дадено от Евклид. Много от теоремите в Елементите имат по -прости доказателства, намерени по -късно. Този не прави изключение. Следното доказателство е дадено от Папус: Забележете, че двата триъгълника BAC и CAB са SAS (странично-ъгъл-страна) конгруентни. Следователно ъглите при В и С са равни.

Предложение I-6. Ако в триъгълник два ъгъла са равни един на друг, тогава противоположните страни също са равни.

  1. B е равно на C. Да предположим.
  2. Да приемем AB & gt AC. Направете D така, че DC = AB.
  3. Сега докажете, че триъгълниците ABC и DBC са конгруентни.
  4. По този начин частта е равна на цялото.

Предложение I-29. Правата линия, пресичаща две успоредни прави линии, прави алтернативните ъгли равни един на друг, външният ъгъл е равен на вътрешния и противоположния ъгъл, а вътрешните ъгли на същата страна са равни на два прави ъгъла.

  1. Да предположим.
  2. Тогава сумата от и е по -голяма от сумата от и.
  3. Но първата сума е два прави ъгъла. (Пр. I-13.)
  4. Така втората сума е по -малка от два прави ъгъла и следователно линията не е успоредна.

Елементите - книга II - 14 теореми

Книга II е различна от книга I по това, че се занимава с правоъгълници и квадрати. Може да се нарече геометрична алгебра. Има известни дебати сред учените от Евклид дали е извлечено директно от вавилонската математика. Във всеки случай определено е по -трудно да се прочете този материал от книга I.

Определение. За всеки правоъгълник се казва, че се съдържа от двете прави линии, образуващи прав ъгъл.

Евклид никога не умножава дължината и ширината, за да получи площ. Няма такъв процес. Той умножава числа (цели числа) по дължина.

II-1. Ако има две прави линии и едната от тях е нарязана на произволен брой сегменти, правоъгълникът, съдържащ се в двете прави линии, е равен на сумата от правоъгълниците, съдържащи се в необрязаната права линия и всеки от сегментите.

Трябва да е очевидно, че това е законът за разпределение за умножение чрез събиране. И все пак, тя се изразява чисто като геометрия.

1. Нека A и BC са двете линии. Направете произволни разфасовки в D и E.

2. Нека BF бъде изтеглено перпендикулярно на BC и изрязано в G, така че BG да е същото като A. Попълнете диаграмата, както е показано.

3. Тогава BH е равно на BK, DL, EH

4. Сега спорете, че цялото е сумата от частите.

II-2. Ако една права линия се изреже на случаен принцип, правоъгълникът, съдържащ се от цялото и от двата сегмента, е равен на квадрата като цяло.

II-4. Ако права линия е нарязана на случаен принцип, квадратът като цяло е равен на квадратите на сегментите и два пъти правоъгълника, съдържащ се отсечките.

Обърнете внимание на простотата на визуализация и разбиране за биномиалната теорема за n = 2.

Много предложения дават геометрични решения на квадратни уравнения.

II-5. Ако права линия се нарязва на равни и неравни сегменти, правоъгълникът, съдържащ се от неравномерните сегменти на цялото заедно с квадрата на правата линия между точките на сечението, е равен на квадрата на половината.

Това предложение се превежда в квадратното уравнение

II-14. За да се конструира квадрат, равен на дадена праволинейна фигура.

2. Постройте в средата на AB и изведете линията EG с дължина (a + c)/2.

3. Следователно дължината на сегмента FG е (a - c)/2.

4. Разширете линията CD до P и изградете линията GH с дължина (a + c)/2 (H е на тази линия.).

5. По Питагоровата теорема дължината на линията FH има квадрат, даден от

Елементите - книга III - 37 теореми

Книга III засяга кръгове, започва с 11 определения за кръгове. Например е дадено определението за равенство на кръговете (= ако те имат един и същ диаметър). Тангенцията е интересна с това, че разчита значително на визуалната интуиция:

Определение 2. Казва се, че права линия докосва кръг, който, срещайки кръга и се произвежда, не прерязва кръга.

Ограничение 3. Отсечка от окръжност е фигурата, съдържаща се в права линия и обиколка на окръжност.

Други понятия са сегменти, ъгли на сегменти и са дадени сходство на сегменти от кръгове.

Евклид започва с основите:

III-1. За да намерите центъра на даден кръг.

III-2. Ако по обиколката на окръжност две точки се вземат на случаен принцип, правата линия, свързваща точките, ще попадне в окръжността.

III-5. Ако два кръга се режат (докосват) един друг, те няма да имат един и същ център.

Обратната задача: III-9. Ако точка е взета в кръг и повече от две равни прави линии падат от точката на окръжността, взетата точка е центърът на окръжността.

III-11. Ако два кръга се докоснат вътрешно и техните центрове бъдат взети, правата линия, свързваща техните центрове, ако също е произведена, ще падне върху точката на контакт.

III-16. Правата линия, начертана под прав ъгъл спрямо диаметъра на окръжност от нейния край, ще падне извън окръжността, а в пространството между правата линия и обиколката не може да се постави друга права линия. .

III-31. (Теорема на Талес) В кръг ъгълът в полукръга е прав, а по -нататък,. .

Елементите - книга IV - 16 теореми

Изграждането на правилни многоъгълници е било грижа на гърците. Ясно равностранен триъгълник и квадрат могат да бъдат конструирани, тоест вписани в окръжност. Разделянето позволява произволен брой удвояване, напр. шестоъгълници и осмоъгълници. Вписаният петоъгълник е по -предизвикателна конструкция. Тази книга е посветена на заобикалянето и вписването на правилни и неправилни многоъгълници в кръгове.

IV-5. Относно даден триъгълник да се опише кръг.

IV-10. За да се изгради равнобедрен триъгълник, всеки от ъглите в основата да е двоен на останалия.

IV-10 е ключът към доказване на празнувания

IV-11. В даден кръг да впишем равностранен и равноъгълен петоъгълник.

Елементите - книга IV - актуализация

Следващата редовна фигура, която трябва да бъде вписана в кръг, е 17-гона. И това беше постигнато от не по -малко математик от Карл Фредерих Гаус през 1796 г., когато беше само на 18 години.

Всъщност, когато беше студент в G öttingen, той започна работа по голямата си публикация Disquisitiones Arithmeticae, един от големите класици на математическата литература. Към края на тази работа той включи този резултат за 17-гона, но повече.

Той доказа, че САМО правилните многоъгълници, които могат да бъдат вписани в окръжност, имат

страни, където m е цяло число, а p 's са прости числа на Fermat.

Припомнете си, че прости числа на Fermat са прости числа от формата

Имаме следната таблица с многоъгълници, които могат да бъдат вписани в окръжност:

Всички ли са такива числа,, прости числа? Не, Ойлер доказва, че следващият е композитен. Други не са известни. Съвременник на Гаус, Ферниданд Айзенщайн (1823-1852) предполага, че следното подмножество от числата на Ферма се състои само от прости числа:

но това не е проверено. Първите три са прости числа на Fermat, 5, 17, 65,537. Следващото число има повече от 45 000 цифри.

Елементите - книга V - 25 теореми

Книга V третира съотношението и пропорциите. Евклид започва с 18 дефиниции за величини, започващи с част, кратна, съотношение, да бъде в същото съотношение и много други. Помислете за определение 5 за същите съотношения.

Определение 1. Величината е част от величината, по -малката от по -голямата, когато измерва по -голямата.

Това означава, че разделя по -голямото без остатък.

Определение 4. Казва се, че величините имат съотношение помежду си, което е в състояние, когато се умножи, да надвишава друго.

Това е по същество Архимедовата аксиома: Ако a & lt b, тогава има цяло число n такова, че na & gt b.

В съвременната теория за частично подредени пространства специална роля играят тези пространства, които имат така нареченото Архимедово свойство.

Определение 5. Казва се, че величините са в същото съотношение, първото към второто и третото към четвъртото, когато, ако има кое да е равно на кратно, каквото и да се вземе от първото и третото, и всяко равномножно, независимо от второто и четвъртото, първите еквиваленти еднакво надвишават, еднакво са равни или еднакво не отговарят на вторите, съответно взети в съответния ред.

В съвременната нотация казваме, че величините, a, b, c, d са в същото съотношение a: b = c: d, ако

V-1. Ако има произволен брой величини, които съответно са еквивалентни на всякакви величини, равни в множеството, тогава, независимо от кратността на една от величините, е една, тази кратна също ще бъде от всички.

В съвременната нотация нека величините са и нека m е кратното. Тогава,

V-8. При неравностойни величини, по -голямото към същото е по -голямо съотношение от по -малкото и същото има към по -малкото по -голямо съотношение, отколкото към по -голямото.

В съвременния термин нека се даде a & gt b и c. Тогава

Елементите - книга VI - 33 теореми

Книга VI е за сходството на фигурите. Започва с три дефиниции.

Определение 1. Подобни праволинейни фигури са такива, при които ъглите им са еднакво равни, а страните около равните ъгли пропорционални.

Определение 3. Височината на всяка фигура е перпендикулярът, изчертан от върха към основата.

VI-1. Триъгълници и паралелограми, които са под една и съща височина, са един с друг като техните основи.

VI-5. Ако страните на два триъгълника са пропорционални, триъгълниците ще бъдат равноъгълни и ще имат онези ъгли, които са подходящи за съответните страни.

VI-30. За да изрежете дадена крайна права линия в крайно и средно съотношение.

Разбира се, трябва стриктно да докажете цялата прилика.

Елементите - книга VII - 39 теореми

Книга VII е първата книга от три по теория на числата. Евклид започва с дефиниции на единица, число, части от, кратно на, нечетно число, четно число, просто и съставно число и т.н.

Определение 11. Просто число е това, което се измерва само от единицата.

Определение 12. Числата, които се поместват помежду си, са тези, които се измерват само от единицата като обща мярка.

VII-21. Числата, които се намират помежду си, са най -малките от тези, които имат същото съотношение с тях.

VII-23. Ако две числа са прости едно към друго, числото, което измерва едното от тях, ще бъде просто към останалото число.

VII-26. Ако две числа са прости на две числа, и двете на всяко, техните продукти също ще бъдат прости един на друг.

VII-31. Всяко съставно число се измерва с някакво просто число.

VII-32. Всяко число е просто или се измерва с някакво просто число.

Елементите - книга VIII - 27 теореми

Книга VIII се фокусира върху това, което днес наричаме геометрични прогресии, но древните са ги наричали продължителни пропорции. Голяма част от това несъмнено се дължи на Архитас от Тарент, питагорейски. Числата са в постоянна пропорция, ако

което разбира се е едно и също.

VII-1. Ако има толкова много числа, колкото ни харесва в непрекъсната пропорция, и крайностите от тях са прости едно към друго, числата са най -малките от тези, които имат същото съотношение с тях.

Помислете за 5: 3 и 8: 6 и 10: 6 и 16:12.

Елементите - книга VIII - 27 теореми

VIII-8. Ако между две числа има числа в постоянна пропорция с тях, тогава обаче всички числа са между тях в продължителна пропорция, така че много от тях също ще бъдат в непрекъснато съотношение между числа, които са в същото съотношение като първоначалните числа.

Евклид се занимава с няколко други предложения от книга VIII, като определя условията за вмъкване на средни пропорционални числа между дадени числа от различни типове. Например,

VIII-20. Ако едно средно пропорционално число попадне между две числа, числата ще бъдат подобни равнинни числа.

В съвременния език, да предположим a: x = x: b, тогава

Елементите - книга IX - 36 теореми

Последната книга по теория на числата, книга IX, съдържа по -познати резултати от теорията на числата.

IX-20. Простите числа са повече от всяко зададено множество прости числа.

Доказателство. Нека бъдат всички прости числа. Определете +1. След това, тъй като N трябва да е съставен, да речем едно от прости числа. Но това е абсурдно!

Елементите - книга IX - 36 теореми

IX-35. Ако колкото искаме числа са в непрекъсната пропорция и от второто и последното число се извади равно на първото, тогава, тъй като излишъкът от втория е към първия, така и излишъкът от последния ще бъде до всички преди него.

Казваме нека числата са, разликите са a (r -1) и. Тогава теоремата твърди, че

Елементите - книга X - 115 теореми

Много историци смятат това за най -важната от книгите. Той е най -дългият и вероятно най -добре организиран. Целта е класификацията на несъизмеримите. Първото предложение е основно. Това е методът на изтощение на Евдокс.

X-I. Дават се две неравностойни величини, ако от по -голямото се извади величина, по -голяма от неговата половина, и от това, което е останало, с величина, по -голяма от половината му, и ако този процес се повтаря непрекъснато, ще остане някаква по -малка от тази по -малка от дадените величини.

Това предложение позволява приблизителен процес с произволна дължина.

X-36. Ако се съберат само две рационални прави линии, съизмерими в квадрат, цялото е ирационално.

Елементите-книга X1-XIII

Последните три глави на Елементите са за твърдата геометрия и използването на ограничаващ процес при разрешаването на проблеми с площта и обема. Например,

XII-2. Кръговете са помежду си като квадратите на диаметрите.

Ще забележите, че няма изразена формула.

XII-7. Пирамида е трета част от призмата, която има еднаква основа с еднаква височина.


Фрагмент от елементите на Евклид - история

Додекаедърът и икозаедърът са най -екзотичните от платоновите твърди тела, тъй като имат 5 -кратна ротационна симетрия - възможност, която съществува само за правилни политопи в 2, 3 или 4 измерения. Додекаедърът и икозаедърът имат една и съща група на симетрия, тъй като са дуани на Поанкар и остър: върховете на единия отговарят на лицата на другия. Но икосаедърът вероятно е бил открит по -късно. Както Бено Артман написа:

Първоначалните познания за додекаедъра може да са дошли от кристали на пирит, но за разлика от тях икосаедърът е чисто математическо творение. Това е първата реализация на едно същество, което е съществувало преди само в абстрактната мисъл. (Е, освен статуите на богове!)

Не съм сигурен, че наистина е нещо близко до първата & quotrealization на едно същество, което е съществувало преди само в абстрактна мисъл & quot. Но може да е бил първият „квотекцептивен“ обект в математиката - казано грубо, обект, който не се вписва в никакъв лесен модел, който е открит като част от доказването на класификационна теорема!

Други изключителни обекти включват простата група Е на Е8, и крайната проста група M12. Интересно е, че много от тези изключителни обекти & quot са свързани. Например, икосаедърът може да се използва за конструиране на двете E8 и М.12. Но първата интересна класификационна теорема беше класификацията на правилните многогранници: изпъкнали многогранници с равностранени многоъгълници като лица и същия брой лица, които се срещат във всеки връх. Тази теорема се появява почти в края на последната книга на Евклидовите елементи - книга XIII. Той показва, че единствените възможности са платоновите тела: тетраедърът, кубът, октаедърът, додекаедърът и икозаедърът. И според традиционната мъдрост резултатите в тази книга са доказани от Театет, който също е открил икосаедъра!

Всъщност Артман цитира древна бележка & quotan, написана в полетата на ръкописа & quot на книга XIII, която казва:

Може да познавате Театет чрез едноименния диалог на Платон, където той е описан като математически гений. Той е споменат и в диалога на Платон, наречен Софист. В Републиката, написана около 380 г. пр. Н. Е., Платон се оплаква, че не се знае достатъчно за твърдата геометрия:

Театет изглежда е запълнил празнината: той е работил върху твърда геометрия между 380 и 370 г. пр. Н. Е., Може би вдъхновен от интереса на Платон към темата. Умира от бойни рани и дизентерия през 369 г., след като Атина води битка с Коринт.

Но доколко сме сигурни, че Театет е открил - или поне е проучил - икосаедъра? Единственото твърдо доказателство изглежда е тази & количествена бележка & quot в полетата на елементите. Но кой го е написал и кога?

Първо, ако се надявате да видите древен ръкопис на Евклид с надраскана бележка в полето, пригответе се да бъдете разочаровани! Всичко, което имаме, са копия от копия. Най -старите останали фрагменти от Елементите датират векове след смъртта на Евклид: някои от библиотека в Херкулаум, изпечена при изригването на Везувий през 79 г. сл. Хр., Няколко от района на Фаюм близо до Нил, а други от сметище в Египет град Оксиринх.

Има различни реда копия на Евклидовите елементи. Сравнявайки това, за да познаете съдържанието на оригинален Елементите са трудна и завладяваща задача. За съжаление през четвърти век след Христа гръцкият математик Теон Александрийски - бащата на Хипатия - направи копие, което стана изключително популярно. Толкова популярен всъщност, че в продължение на много векове европейските учени не познаваха нито един ред копия, които да не са преминали през Теон! А Теон не беше верен преписвач: той добави допълнителни предложения, удължи някои доказателства и пропусна някои неща. Изглежда, че е искал да стандартизира езика и да го направи по -лесен за следване. Това може да е помогнало на хората, които се опитват да научат геометрия - но със сигурност не на учените, които се опитват да разберат Евклид.

През 1808 г. Франсоа Пейрар направи чудесно откритие. Той откри, че библиотеката на Ватикана има копие от Елементи на Евклид, което не е слязло през Теон!

Това копие сега се нарича & quotP & quot. Датира от около 850 г. сл. Хр. Бих искал да знам как Пейрард се докопа до него. Човек си представя как се разхожда из прашно мазе и отваря багажник. но изглежда, че Наполеон по някакъв начин е отнесъл този ръкопис от Ватикана в Париж.

През 1880 -те години великият датски учен Йохан Хайберг използва & quotP & quot заедно с различни & quot; Теонин & quot; копия на Елементите, за да подготви това, което все още се смята за окончателното гръцко издание на тази книга. Най-важният английски превод на Томас Хийт се основава на това. Доколкото мога да разбера, & quotP & quot е единственото известно не-Теониново копие на Евклид, с изключение на споменатите фрагменти. Хийт също използва тези фрагменти, за да подготви своя превод.

Това е само кратък преглед на сложна детективска история. Както винаги, фракталната текстура на историята разкрива повече сложност, колкото по -отблизо се вгледате.

Както и да е, Хийт смята, че Гемин от Родос е написал & количествената бележка & quot в елементите, кредитиращи Theatetus. Не съм сигурен защо Хийт мисли така, но Гемин от Родос е бил гръцки астроном и математик, който е работил през I век пр.н.е.

В своята очарователна статия „Откритието на правилните твърди частици“ Уилям Уотърхаус пише:

Някога в историята на правилните твърди тела не е имало проблем. Според Прокъл, откритията на Питагор включват "изграждането на космическите твърди тела", а ранните историци само можеха да предположат, че темата е израстнала от главата му. Но по-добре развитата картина на растежа на гръцката геометрия направи такава ранна дата съмнителна и бяха открити доказателства, предполагащи различно приписване. Цялостно проучване на свидетелските показания е направено от Е. Сакс и нейният извод сега е общоприет: приписването на Питагор е по -късно недоразумение и/или изобретение.

Следователно историята на правилните твърди тела се основава почти изцяло на сциум до Евклид, който гласи следното:

& quotВ тази книга, 13 -та, са конструирани 5 -те фигури, наречени платонически, които обаче не принадлежат на Платон. Три от тези 5 фигури, кубът, пирамидата и додекаедърът, принадлежат на питагорейците, докато октаедърът и икосаедърът принадлежат на Теетет. & Quot

Театет е живял ок. 415-369 г. пр. Н. Е., Така че тази версия дава умерено късна дата и има значителното предимство да изглежда малко вероятно. Тоест, детайлите в школиума не са от историята, която човек наивно би предположил и следователно вероятно не е една от историите, измислени в късната античност. Както казва Ван дер Ваерден, сега училището е широко прието & quotprecisionly, защото [то] пряко противоречи на традицията, която преди е приписвала на Питагор всичко, което е дошло. & Quot

Но вероятностните аргументи могат да пресекат и двата начина и тези учени, които се колебаят да приемат школиума, го правят преди всичко, защото изглежда твърде малко вероятно. Има две основни залепващи места: първо, ранността на додекаедъра в сравнение с икосаедъра и второ, изненадващата закъснялост на октаедъра. Първото възражение обаче беше доста добре отстранено. Минералът пирит (FeS2) кристализира най-често в кубчета и почти редовни додекаедри, той е доста разпространен, като най-често срещаният сулфид, а изявени кристали се срещат на редица места в Италия. Освен това редовно се среща смесен със сулфидни руди и в основата на окислените руди от мед тези находища са били обработвани от най -ранна древност. Така естествените додекаедри бяха забележими и всъщност привлякоха вниманието: изкуствени додекаедри са открити в Италия, датиращи от преди 500 г. пр. Н. Е. За разлика от това, икозаедричните кристали са много по -рядко срещани. Hence there is no real difficulty in supposing that early Pythagorean geometers in Italy were familiar with dodecahedra but had not yet thought of the icosahedron.

Indeed, while iron pyrite прави form "pseudoicosahedra":

I've never seen one, while the "pyritohedra" resembling regular dodecahedra are pretty common:

The puzzle of why the octahedron showed up so late seems to have this answer: it was known earlier, but it was no big deal until the concept of regular polyhedron was discovered! As Waterhouse says, the discovery of the octahedron would be like the discovery of the 4rd perfect number. Only the surrounding conceptual framework makes the discovery meaningful.

So far, so good. But maybe the Greeks were not the first to discover the icosahedron! In 2003, the mathematicians Michael Atiyah and Paul Sutcliffe wrote:

Various people including John McKay and myself spread this story without examining it very critically. I did read Dorothy Marshall's excellent paper "Carved stone balls", which catalogues 387 carved stone balls found in Scotland, dating from the Late Neolithic to Early Bronze Age. It has pictures showing a wide variety of interesting geometric patterns carved on them, and maps showing where people have found balls with various numbers of bumps on them. But it doesn't say anything about Platonic solids.

In March of 2009, Lieven le Bruyn posted a skeptical investigation of Atiyah and Sutcliffe's claim. For starters, he looked hard at the photo in their paper:

Who put on the ribbons? Lieven le Bruyn traced back the photo to Robert Lawlor's 1982 book Sacred Geometry. In this book, Lawlor wrote:

But is this really true? Le Bruyn discovered that the Ashmolean owns only 5 Scottish stone balls - and their webpage shows a photo of them, which looks quite different than the photo in Lawlor's book!

They have no ribbons on them. More importantly, they're different shapes! The Ashmolean lists their 5 balls as having 7, 6, 6, 4 and 14 knobs, respectively - nothing like an icosahedron.

And here is where I did a little research of my own. The library at UC Riverside has a copy of Keith Critchlow's 1979 book Time Stands Still. In this book, we see the same photo of stones with ribbons that appears in Lawlor's book - the photo that Atiyah and Suttcliffe use. In Critchlow's book, these stones are called "a full set of Neolithic 'Platonic solids'". He says they were photographed by one Graham Challifour - but he gives no information as to where they came from!

And Critchlow explicitly denies that the Ashmolean has an icosahedral stone! Той пише:

It seems the myth of Scottish balls shaped like Platonic solids gradually grew with each telling. Could there be any truth to it? Dorothy Marshall records Scottish stone balls with various numbers of knobs, from 3 to 135 - but just two with 20, one at the National Museum in Edinburgh, and one at the Kelvingrove Art Gallery and Museum in Glasgow. Do these look like icosahedra? I'd like to know. But even if they do, should we credit Scots with "discovering the icosahedron"? Може би не.

So, it seems the ball is in Theaetetus' court.

The quote from Benno Artmann appeared in a copy of the AMS Bulletin where the cover illustrates a construction of the icosahedron:

5) Benno Artmann, About the cover: the mathematical conquest of the third dimension, Bulletin of the AMS, 43 (2006), 231-235. Also available at http://www.ams.org/bull/2006-43-02/S0273-0979-06-01111-6/

For more, try this wonderfully entertaining book:

6) Benno Artmann, Euclid - The Creation of Mathematics, Springer, New York, 2nd ed., 2001. (The material on the icosahedron is not in the first edition.)

It's not a scholarly tome: instead, it's a fun and intelligent introduction to Euclid's Elements with lots of interesting digressions. A great book for anyone interested in math!

I should also get ahold of this someday:

7) Benno Artmann, Antike Darstellungen des Ikosaeders, Mitt. DMV 13 (2005), 45-50.

Heath's translation of and commentary on Euclid's Elements is available online thanks to the Perseus Project. The scholium crediting Theatetus for the octahedron and icosahedron is discussed here:

while the textual history of the Elements is discussed here:

9) Euclid, Elements, trans. Thomas L. Heath, Chapter 5: The Text, p. 46. Also available at http://old.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?lookup=Euc.+5

Anyone interested in Greek mathematics also needs these books by Heath, now available cheap from Dover:

10) Thomas L. Heath, A History of Greek Mathematics. Vol. 1: From Thales to Euclid. Vol. 2: From Aristarchus to Diophantus. Dover Publications, 1981.

The long quote by Waterhouse comes from here:

11) William C. Waterhouse, The discovery of the regular solids, Arch. История Exact Sci. 9 (1972-1973), 212-221.

I haven't yet gotten my hold on this "thorough study" mentioned by Waterhouse - but I will soon:

12) Eva Sachs, Die funf platonischen Koerper, zur Geschichte der Mathematik und der Elementenlehre Platons und der Pythagoreer, Berlin, Weidmann, 1917.

I also want to find this discussion of how Peyrard got ahold of the non-Theonine copy of Euclid's Elements:

13) N. M. Swerlow, The Recovery of the exact sciences of antiquity: mathematics, astronomy, geography, in Rome Reborn: The Vatican Library and Renaissance Culture, ed. Grafton, 1993.

Here is Atiyah and Sutcliffe's paper claiming that the Ashmolean has Scottish stone balls shaped like Platonic solids:

14) Michael Atiyah and Paul Sutcliffe, Polyhedra in physics, chemistry and geometry, available as arXiv:math-ph/0303071.

Here is le Bruyn's critical examination of that claim:

Here are the books by Critchlow and Lawlor -speculative books from the "sacred geometry" tradition:

16) Keith Critchlow, Time Stands Still, Gordon Fraser, London, 1979.

17) Robert Lawlor, Sacred Geometry: Philosophy and Practice, Thames and Hudson, London, 1982. Available at http://www.scribd.com/doc/13155707/robert-lawlor-sacred-geometry-philosophy-and-practice-1982

Here's the Ashmolean website:

18) British Archaeology at the Ashmolean Museum, Highlights of the British collections: stone balls, http://ashweb2.ashmus.ox.ac.uk/ash/britarch/highlights/stone-balls.html

and here's Dorothy Marshall's paper on stone balls:

In the process of researching my talk, I learned a lot about Euclid's Elements, where the construction of the icosahedron - supposedly due to Theaetetus - is described. This construction is Proposition XIII.16, in the final book of the Elements, which is largely about the Platonic solids. This book also has some fascinating results about the golden ratio and polygons with 5-fold symmetry!

The coolest one is Proposition XIII.10. It goes like this.

Take a circle and inscribe a regular pentagon, a regular hexagon, and a regular decagon. Take the edges of these shapes, and use them as the sides of a triangle. Then this is a right triangle!

is the side of the pentagon,

is the side of the hexagon, and

is the side of the decagon, then

We can prove this using algebra - but Euclid gave a much cooler proof, which actually find this right triangle hiding inside an icosahedron.

First let's give a completely uninspired algebraic proof.

Start with a unit circle. If we inscribe a regular hexagon in it, then obviously

So we just need to compute P and D. If we think of the unit circle as living in the complex plane, then the solutions of

are the corners of a regular pentagon. So let's solve this equation. We've got

0 = z 5 - 1 = (z - 1)(z 4 + z 3 + z 2 + z + 1)

so ignoring the dull solution z = 1, we must solve

This says that the center of mass of the pentagon's corners lies right in the middle of the pentagon.

Now, quartic equations can always be solved using radicals, but it's a lot of work. Luckily, we can solve this one by repeatedly using the quadratic equation! And that's why the Greeks could construct the regular pentagon using a ruler and compass.

The trick is to rewrite our equation like this:

Now it's a quadratic equation in a new variable. So while I said this proof would be uninspired, it did require a tiny glimmer of inspiration. But that's all! Let's write

Solving this, we get two solutions. The one I like is the golden ratio:

This is another quadratic equation:

with two conjugate solutions, one being

I've sneakily chosen the solution that's my favorite 5th root of unity:

z = exp(2&pii/5) = cos(2&pi/5) + i sin(2&pi/5)

A fact we should have learned in high school, but probably never did.

Now we're ready to compute P, the length of the side of a pentagon inscribed in the unit circle:

Next let's compute D, the length of the side of a decagon inscribed in the unit circle! We can mimic the last stage of the above calculation, but with an angle half as big:

To go further, we can use a half-angle formula:

But we can simplify this a bit more. As any lover of the golden ratio should know,

Добре. Your eyes have glazed over by now - unless you've secretly been waiting all along for This Week's Finds to cover high-school algebra and trigonometry. But we're done. We see that

That wasn't so bad, but imagine discovering it and proving it using axiomatic geometry back around 300 BC! Как го направиха?

20) Ian Mueller, Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements, MIT Press, Cambridge Massachusetts, 1981.

This is reputed to be be the most thorough investigation of the logical structure of Euclid's Elements! And starting on page 257 he discusses how people could have discovered P 2 = H 2 + D 2 by staring at an icosahedron!

This should not be too surprising. After all, there are pentagons, hexagons and decagons visible in the icosahedron. But I was stuck until I cheated and read Mueller's explanation.

If you hold an icosahedron so that one vertex is on top and one is on bottom, you'll see that its vertices are arranged in 4 horizontal layers. From top to bottom, these are:

  • 1 vertex on top
  • 5 vertices forming a pentagon: the "upper pentagon"
  • 5 vertices forming a pentagon: the "lower pentagon"
  • 1 vertex on bottom

Pick a vertex from the upper pentagon: call this A. Pick a vertex as close as possible from the lower pentagon: call this B. A is not directly above B. Drop a vertical line down from A until it hits the horizontal plane on which B lies. Call the resulting point C.

If you think about this, or better yet draw it, you'll see that ABC is a right triangle. And if we apply the Pythagorean theorem to this triangle we'll get the equation

To see this, we only need to check that:

    the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle

Different circles, but of the same radius! What's this radius? Take all 5 vertices of the "upper pentagon". These lie on a circle, and this circle has the right radius.

Using this idea, it's easy to see that the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle. It's also easy to see that BC equals the edge of a decagon inscribed in a circle of the same radius. The hard part, at least for me, is seeing that AC equals the edge of a hexagon inscribed in a circle of the same radius. or in other words, the radius of that circle! (The hexagon seems to be a red herring.)

To prove this, we need a wonderful fact: the distance between the "upper pentagon" and the "lower pentagon" equals the radius of the circle containing the vertices of the upper pentagon!

I just found a very beautiful proof. I could explain it easily with lots of pictures, but I'm too lazy to draw them electronically. I don't feel too guilty about this, though: I've given enough clues for you to figure everything out and draw the pictures yourself. It's lots of fun. And if you draw nice electronic pictures, I'd love to include them here and credit you!

Okay, okay. I'll give you one more hint. Consider the "top" vertex of the icosahedron and the 5 vertices forming the "upper pentagon". Позволявам А be any vertex on the upper pentagon, and let Б be the top vertex. Drop a vertical line from the top vertex until it hits the plane of the upper pentagon call the point where it hits ° С. Prove that the triangle ABC is congruent to the right triangle ABC. And using this, show the distance between the "upper pentagon" and the "lower pentagon" equals the radius of the circle containing the vertices of the upper pentagon!

    the length AB equals the edge of a pentagon inscribed in a circle

I thank Toby Bartels for help with some of this stuff.

Допълнение: Kevin Buzzard explained some of the Galois theory behind why the pentagon can be constructed with ruler and compass - or in other words, why the quartic

can be solved by solving first one quadratic and then another.

("this one" being z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0.)

. и това е because the Galois group of that специфичен irreducible polynomial is "only" cyclic of order 4. The splitting field is Q(&zeta5), which is a cyclotomic field, so has Galois group (Z/5Z)*. No Z/3Z factors so no messing around with cube roots, for example.

With this observation above, I'm trying to convince you that the proof really е completely uninspired To solve the quartic by solving two quadratics, you need to locate the degree 2 subfield of Q(z) (z=&zeta5) and aim towards it (because it's your route to the solution). This subfield is clearly the real numbers in Q(z), and the real numbers in Q(z) contains z+z*=z+z -1 . So that's sort of a completely conceptual explanation of why the trick works and why it's crucial to introduce z+z -1 .


Mathematical Treasure: Euclid Proposition on Papyrus

This papyrus fragment is one of the the oldest, if not the oldest, existing text from Euclid&rsquos Елементи. Euclid compiled and wrote his Елементи in Alexandria, Egypt, in about 300 BCE, in Greek. The fragment, also written in Greek, was found in Egypt in 1897 and has been dated to the end of the first century CE. It is called the Oxyrhynchus papyrus, named after the place in Egypt where it was found. Archeologists B. P. Grenfell and A. S. Hunt uncovered an ancient rubbish dump from which they excavated many valuable finds, among which was this fragment. The text and diagram are from Euclid&rsquos Елементи, Book II, Proposition 5, which states:

If a straight line is cut into equal and unequal segments, the rectangle contained by the unequal segments of the whole, together with the square on the straight line between the points of the section, is equal to the square on the half.

The image was made by William Casselman, University of British Columbia, from the papyrus collection at the University of Pennsylvania and is used with his permission. For additional information about the papyrus, see Casselman's webpage about it, titled "One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid."

Frank J. Swetz (The Pennsylvania State University), "Mathematical Treasure: Euclid Proposition on Papyrus," Convergence (August 2013)


The books

Elements consists of 13 books, the first 6 refer to basic plane geometry. From the seventh to the tenth deals with all numerical issues Prime, radical, and divisibility numbers. The last 3 books cover topics on geometry of solids, polyhedra and circumstantial spheres. To consult the published books, you can follow the following link.

  • Book I
  • Book II
  • Book III
  • Book IV
  • Book V
  • Book VI
  • Book VII
  • Book VIII
  • Book IX
  • Book X
  • Book XI
  • Book XII
  • Book XIII

Book XII and Book XIII are complete and available in Spanish-Catalan, comparable to Heath’s text. With a multitude of pending corrections, we hope the start of the new phase that begins the project.


The Reader Intervention

The Елементи, which contains 13 volumes, has appeared in at least hundreds of editions, and until the last century it was the second-best-selling book in the world. (The Bible was first.) But not everything in the Елементи came from Euclid. The volumes represent a collection of mathematics knowledge known to the Greeks at the time. Physicist Stephen Hawking described Euclid as “the greatest mathematical encyclopedist of all time,” likening him to Noah Webster, who assembled the first English language dictionary (2).

The Елементи was translated from Greek, Arabic, Latin, Hebrew, and other languages. The treatise evolved as it grew and migrated—and so did the diagrams. Readers made notes in the margins and inserted changes. Later readers and translators saw both the manuscript and the additions and made revisions that seemed appropriate for their time. Those interactions are captured in transcriptions of the proofs and diagrams in the Елементи, and the act of copying became an act of transformation, says Eunsoo Lee, a PhD student at Stanford University studying the evolution of diagrams over time in the Elements.

“We may easily forget about the role of readers in the making of diagrams,” says Lee, noting that they could intervene or intermingle by marking on the manuscript. Later, scribes took those notes into consideration. “If they determined that the marginal diagrams [were] superior to the main diagrams,” explains Lee, “the marginal diagrams were adopted as the main diagrams for later generations.” These visual changes conveyed mathematical ideas in ways that couldn't be transmitted through text.

It’s too simplistic to call these changes errors. Some of the changes may have been intended as improvements others arose from cultural practices. Arabic reads right-to-left, for example, so in early Arabic versions of the Елементи the orientations of its diagrams were often flipped—angles that opened to the left in ancient Greek manuscripts opened to the right in the Arabic versions. However, when those Arabic versions were translated into Latin, some scribes didn’t flip the diagrams back.

Mathematician Robin Hartshorne, retired from the University of California, Berkeley, further argues that it’s not necessarily fair to see changing the diagrams as a corrective process. Even with curves and erasures, those pentadecagon diagrams got the point across. Printing the Елементи with accurate diagrams reflects the values of a time, he says, but it's a practice disloyal to earlier versions. “I would call it redrawing the diagram to the taste of modern mathematicians who like to see metrical exactness,” says Hartshorne.

“These are hand-drawn diagrams of things that are not necessarily easy to represent,” adds science historian Courtney Roby, who studies ancient scientific texts at Cornell University, in Ithaca, New York. “Diagrams are the creations of individual authors and scribes, and their creativity and experimentation and change.”


The History of Physics #1 – Introduction

With its form and content, physics has started in a way with Galileo Galilei (1564-1642) and Sir Isaac Newton’s (1642-1727) works.

Newton’s “Philosophiae Naturalis Principa Mathematica” or just “Principia” published in 1686 has 3 books and is one of the most important sources for modern science.

This title describes this branch of science named physics in a really nice way. Physics are based on movement at the most basic level.

Movement is the way things change their places in space and time. The terms space and time are more than what a normal human brain can process make the word “Movement” harder to understand.

2. Newton’s personal copy of the first edition of Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, annotated by him for the second edition. Displayed at Cambridge University Library.

Another thing that makes movement hard to understand is that movement is relative to the observer and never the same to two or more places or observers. Movement changes accordingly to the place the observer observes.

These differences in observations gave scientists the suspicion of the way something moves to be able to change according to the observation system.

Even though Newton’s “Principia” has the mathematical basis of classical physics, the base terms of physics have been put forth by Galileo.

Because of that, it would be more appropriate if we thought of physics as before and after Galileo. The “before Galileo” era of physics had far less information for understanding the world around us.

To interpret the ideas and experiences of that era with our advanced knowledge would be extremely meaningless, but Ancient Greek philosophers’ thoughts and ways of thinking have built up the base knowledge of both classical (1600-1900) and modern (1900-today) physics.

The most important thing that made physics go forth in the ancient era is most probably Eukleides (325-265 B.C.) redefining geometry and putting it into a systematic order.

One of the oldest surviving fragments of Euclid’s Елементи, found at Oxyrhynchus and dated to circa AD 100 (P. Oxy. 29). The diagram accompanies Book II, Proposition 5

Eukleides’ book named “Stoikhea” consists of 13 installments and it’s the first systematic debate about geometry. Some of the axioms’ debates in this book were relevant until the end of 19. Century. Then they realized the flaws and perfected them.

  1. Cover image: Various examples of physical phenomena collage by Daniele Pugliesi (Public Domain)
  2. Newton’s personal copy of the first edition of Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, annotated by him for the second edition. Displayed at Cambridge University Library. (CC BY-SA 4.0)
  3. One of the oldest surviving fragments of Euclid’s Елементиhttp://www.math.ubc.ca/

Tunçer Efe Kıray

I'm Efe, 16. I'm studying at the Istanbul High School , one of the most prestigious high schools in Turkey. I have been a professional chess player for 9 years. I want to study Physics at the university.


Гледай видеото: Euclid as the father of geometry. Introduction to Euclidean geometry. Geometry. Khan Academy